康熙字典「垓」字

音【廣韻】古哀切【集韻】【韻會】【正韻】柯開切，𠀤音該。【說文】兼垓八極地也。引【春秋國語】：天子居九垓之田。【司馬相如·封禪書】上暢九垓。
又數名。【風俗通】十億曰兆，十兆曰京，十京曰垓。
又界也，守也。【揚雄箴】重限累垓，以防暴卒。
又【集韻】居諧切，音皆。級也，重也。【史記·封禪書】大乙壇三垓。【北齊大禘歌】三垓上列，四陛旁升。
又地名。【史記·項羽紀】漢王圍項羽于垓下。【註】垓，堤名，在沛縣。一曰聚邑名。正義，垓是高岡，其聚邑及堤在垓之側，故曰垓。
又叶居之切，音基。【郭璞·遊仙詩】嫦娥揚妙音，洪崖頷其頤。升降隨長煙，飄颻戲九垓。

---

考證：〔【周語】天子之田九垓。〕　謹照說文原文改爲引春秋國語天子居九垓之田。

1.古代指一万万。

2.垓下（Gāixià），古地名，在今安徽灵璧东南。项羽在这里被围失败。

垓，形声，从土，亥声。本义：八极之内的广大土地，又指 战场上重重围困的中心。垓下决战是我国历史上一次有名的战役。公元前202年楚、汉两军在垓下进行决战时，汉军设下十面埋伏的阵法，从而彻底击败楚军，迫使项羽自刎乌江。

——《百度百科》

垓字说文解字原文：

兼垓八極地也。《國語》曰：“天子居九垓之田。”从土亥聲。

垓字 清代 段玉裁《说文解字注》

兼晐八極地也。

晐各本作垓。今正。晐俗作該。日部晐下曰。兼晐也。此用其義釋垓。以㬪韵爲訓也。凡四方所至謂之四極。八到所至謂之八極。淮南書曰。八紘之外乃有八極。非此義也。兼備八極之地謂之垓。

从土。亥聲。

古哀切。一部。

國語曰。天子凥九垓之田。

鄭語曰。王者居九畡之田。收經入以食兆民。韋云。九畡、九州之極數也。又楚語。天子之田九畡。以食兆民。韋云。九畡、九州之內有畡數也。食兆民、民耕而食其中也。天子曰兆民。按畡者、垓字之異也。韋云有垓數者、卽風俗通千生萬、萬生億、億生兆、兆生經、經生垓。

垓
[名]
1.荒遠之地。《說文解字．土部》：「垓，兼晐八極地也。」清．段玉裁．注：「兼備八極之地謂之垓。」宋．王安石〈和王微之登高齋〉詩三首之一：「書成不得斷國論，但此空語傳八垓。」
2.界限、邊際。漢．揚雄〈衛尉箴〉：「重垠累垓，以難不律。」
3.數目字。古代以十兆為經，十經為垓。見《太平御覽．卷七五○．工藝部．數》。

1、垓讀音：柯開切，音該，灰韻。釋文：
❶兼晐八極地也。國語曰。天子凥九垓之地。見《說文》。《段注》：晐、各本作垓。今正。晐、俗作該。日部晐下曰。兼晐也。兼備八極之地謂之垓。鄭語曰。王者居九畡之田。按畡者、垓字之異也。
❷界也。《揚雄箴》：重限累垓。以防暴卒。
❸數名。《風俗通》：千生萬。萬生億。億生兆。兆生經。經生垓。
❹垓坫。垠堮。《淮南俶眞》：設于無垓坫之宇。
❺亦作姟。《通訓定聲》：字林。姟、大數也。鄭語。行姟極。注。姟。備也。
2、垓讀音：居諧切，音皆，佳韻。釋文：
❶同陔。階次也。《史記孝武紀》：太乙壇三垓。〔漢書郊祀志作泰乙壇三陔〕。
❷垓下。地名。《史記項羽紀》：漢王圍項羽垓下。
　〔注〕：垓、堤名。在沛郡。一曰聚邑名。〔在今安徽靈壁縣南〕。
3、畡讀音：柯開切，音該，灰韻。釋文：垓或字。《集韻》：垓。說文、兼垓八極地也。或从田。
4、陔讀音：古哀切，音該，灰韻。釋文：
❶階次也。見《說文》。《段注》：近階之處也。《桂注》：廣韻。垓、殿階次序。
❷隴也。見《文選束晳詩注》引《聲類》。
❸重也。《漢書郊祀志》：泰一壇三垓。
　〔注〕：三垓、三重壇也。
❹樂名。《儀禮鄕飮酒禮》：賓出奏垓。
　〔注〕：垓之言戒也。終日燕飮。酒罷以垓爲節。明無失禮也。
❺南垓。笙詩名。《儀禮燕禮》：笙入立于縣中。奏南垓白華華黍。
❻通祴。《周禮鐘師祴夏注》：祴讀爲垓鼓之垓。客醉而出奏垓夏。
❼通閡、垓。《漢書郊祀志》：專精厲意逝九閡。
　〔注〕：閡、猶垓。淮南子。期乎九垓之上。謂九天之上也。
　〔按御覽引廣韻。又作九垓〕。
❽武垓。人名。晉書有武垓傳。